球的表面积公式写给5年级的学生:球公式是如何推导出来的?

文化频道 2020-03-03200未知admin

  有一天一个朋友在微信群里发问:各位帮忙啊,儿子问球表和体积的公式怎么推导的,怎么用小学五年级能理解的语言解释这件事?

  想知道背后的原因。我的孩子尚小,还在理解加减法的阶段,问不出这么有深度的问题。不过我相信为人父母者,面对好学求知的孩子,一定都会知无不言、言无不尽吧。可是,怎么解释清楚呢?本文尝试梳理一下推导过程,看看能否用初等的数学解释,也算是一个挑战。闲话少说,且听慢慢道来。

  先从长方形开始。大家都知道长方形的是底 *高,直观上不难理解:这就是数一数图中有多少单位小正方形而已。堆了 m 排小正方形,每排有 n 个,总数就是 m*n 个;每个小正方形的是1,所以总是 m*n。把整数 m,n 换成分数也一样成立,无非是以更小的正方形做单位来数而已。

  把两个三角形或者两个梯形一正一反拼起来,得到了长方形。由此得到三角形的是长方形的一半,球的表面积公式 也就是(底*高)/2,而梯形的是 (上底 +下底)* 高/2。甚至可以说,三角形是梯形公式的特例,三角形是上底 =0的梯形,长方形则是上下底相同的梯形。所以只需要一个梯形公式就够了,它概括了全部三种情形。

  大数学家高斯小时候算1+2+3+...+100=5050的故事,大家恐怕是耳熟能详了。高斯使用的等差数列求和公式,总和= (首项+末项)* 项数/2,本质上和梯形公式是一回事:首项、末项分别是上底和下底,项数是高。这个例子看出数学是广泛联系的整体,求数列和、求体积、求积分,都是一个东西,只是符不同罢了。

  好学的孩子可能会马上指出,的做法计算三角形和梯形的,只适用于直角三角形和直角梯形。为什么对一般的“斜三角形、斜梯形”也成立?

  简单的解释是斜三角形,一正一反会拼成等底等高的平行四边形。而平行四边形可以不断切掉斜角补到另一侧(有时可能要做多次),变成一个等底等高的长方形。所以平行四边形的也是底 * 高,三角形和梯形公式仍然成立。

  然而有更好的解释:任意两个等高的图形,如果对应高度上的平行截线长度都相同,则它们的相同。这是个很强大的原理,并不限于三角形和梯形。而且在三维空间上也成立:任意两个等高的物体,如果对应高度上的平行截都相同,则它们的体积相同。

  这就是有名的祖暅原理,由南北朝时期的数学家祖暅之提出。祖暅之是祖冲之的儿子,他们父子都很了不起,是中国古代数学的骄傲。数学文献中,这个原理被归在十七世纪意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri)的名下。

  祖暅原理不难理解:想象每个高度上,都被一个很细的小条覆盖住,小条的长度是这个高度上的截线长度,厚度是个很小的d 。所有小条的加起来就是图形的 —— 有些小误差,但是当 d - 0 时误差就缩小到0,得到精确。既然这两个图形在每个高度上的截线长度都相同,对应的小条的也相同,所以总自然也一样。上述推理应用到三维空间也成立,只要把“截线长度”换成“截面”就好了。

  的条目上给了个有趣的图示:想象桌上放一摞硬币,堆成的柱体的体积就是硬币的总体积(左图)。把硬币随意水平,得到了另一个柱子(右图)。新柱子的每个截面和原来的柱子的对应截面一样,体积也没变,因为还是那堆硬币的总体积。这个例子展示了祖暅原理的原因。

  祖暅原理告诉我们,平行四边形和等底等高的长方形相等,因为每个高度的截线长度都相等。球的表面积公式同理,等底等高的三角形(或梯形)的也是相等的,因为根据相似性,它们也满足祖暅原理的条件。球的表面积公式

  图:根据平行线分线段成比例,左右两个三角形对应高度的截线相等。根据祖暅原理,它们相等。摘自/p>

  现在说体积。我们熟知棱柱或圆柱体积 =底 * 高,而棱锥和圆锥的体积,是同底同高的棱柱或圆柱体体积的1/3 ,也就是 底 * 高/3。为什么呢?

  利用数方块的办法,知道长方体的体积 = 底 * 高。一个正方体,可以恰好切成三个全等的“直角”,每个的底面是正方体的一面,高是正方体的边长。

  所以底面为正方形、高为正方形边长的棱锥的体积为等底等高棱柱的1/3 。根据祖暅原理和相似性,很容易把这个结论推广到一般的棱锥和圆锥。

  心急的观众可能要等不及了:绕了这么半天,怎么还没说到?好消息是:现在就说 — 因为准备工作已经做足了。

  说到这里,已经回答了最初的问题。然而还有两件事情值得一说。其一,不仅球表可以看成是球的“底面”,用棱锥公式推导积;平面上的圆也可以看成是很多等高的小三角形拼成,用三角形公式= 底* 高/2来算。这里高是圆半径,三角形的底的和是圆周长。所以圆 = 圆周长 * 高/2。

  这个规律甚至在更高的维度也成立, N维空间的积有如下的漂亮公式: 积=球表 * 半径/N。这里系数1/N 来自N 维空间中的“棱锥”(学名是单纯形)和对应的长方体(超矩形)的体积关系。看,原来球就是个底面封闭的棱锥,如此而已。

  另一件值得提及的事情,是有没有可能不通过体积,直接计算球表?事实上,球的表和一个半径为R,高度为2R的圆柱侧是一样的。下图左侧的球和右侧的圆柱半径相等,高度也相等,也就是球可以刚好装进这个圆柱里卡住。这个圆柱的侧(不包含上下底),很容易计算:

  其实球的表和圆柱侧是“一一对应”的,用任何一对平行平面切出来的球带(左侧浅蓝区域)和对应的圆柱侧(右侧浅蓝区域)都是相等的。这件事情最早被阿基米德写在著作《论球与圆柱》中,被后人称作“Archimedes’ Hat-Box Theorem”。

  的几何性质是个迷人的领域,这里尝试用初等的数学和几何直观,解释阿基米德和祖氏父子这些们所发现的事情。是否达到了“让小学五年级的孩子理解”无从判断,但是总算躲开了微积分等高深的数学语言。个人感觉把数学原理用简单语言解释,既是很大的挑战,也是个“返璞”的机会,来重新看到隐藏在抽象符后面那些直观的道理。

  本文作者waikok,计算机本科及博士,谷码农,娃爸,喜读书,好古文,爱编程,业余时间琢磨数学。返回搜狐,查看更多

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